言語理論とコンパイラ

第三回: 有限オートマトンと線形文法

2012 年 4 月 27 日

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2012/Compiler/lecture3.html

Martin J. Dürst

© 2005-12 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• 前回の宿題
• 有限オートマトン
• 線形文法
• 正規表現
• それらの間の変換

前回の宿題

[都合により削除]

Cygwin のダウンロード、インストール

(提出なしだが、出来なかった人はノートパソコン持参)
自分のノートパソコンに cygwin をインストール (画像つき詳細)する。インストールの手順で必ず gcc, flex, bisonと make を選ぶ。

flex、bison、gcc の動作確認

• Cygwin Bash Shell (または putty, mintty, Cygwin Terminal) を起動
• flex -V で flex のバージョン確認 (V は大文字)
• bison -V で bison のバージョン確認 (V は大文字)
• gcc -v で gcc のバージョン確認 (v は小文字)
• make -v で make のバージョン確認 (v は小文字)

前回のまとめ

正規言語は字句解析に使用

今回の展望

• 有限オートマトン (finite state automaton, FSA)
  • 決定性有限オートマトン (deterministic finite automaton, DFA)
  • 非決定性有限オートマトン (non-deterministic finite automaton, NFA)
• 正規文法 (regular grammar)
  • 左線形文法 (left linear grammar)
  • 右線形文法 (right linear grammar)
• [正規表現 (regular expression)]

これらは全て同じ力を持って、正規言語を定義・受理する

有限オートマトン

• スタート状態から開始
• 入力の語を繰り返し一記号ごと読んで、これによって状態を遷移
• 語を読み終わった時点で受理状態にいるとこの語が受理
• 語を読み終わった時点で受理状態にいない、又は途中で動作不可の場合に語が非受理
• 状態の数が有限 (すなわち、メモリに制限)

(automaton (αὐτόματον) はギリシア語で、複数は automata)

有限オートマトンの状態遷移図

(state transition diagram)

状態は丸、遷移はラベル付き矢印、外からの矢印は初期状態を示し、二重丸は受理状態

有限オートマトンの状態遷移表

(state transition table)

表の横は状態、縦は入力の記号、→は初期状態 (矢印がない場合、最初の状態が初期状態)、星は受理状態

有限オートマトンの定義

• 状態の有限集合 (Q、図の円、set of states)
• 入力記号の有限集合 (Σ、図の矢印のラベル、set of input symbols)
• 動作関数 (δ、図のラベル付き矢印 (状態遷移関数、state transition function))
• 初期状態 (q₀ ∈ Q、図の外からの矢印のある円、表の矢印つき状態、start state)
• 受理状態の有限集合 (F ⊆ Q、図の二重円、表の星つき状態、accepting state/final state)

有限オートマトンは (Q, Σ, δ, q₀, F) の五字組で定義

決定性と非決定性有限オートマトン

ε 遷移の扱い方

• 「普通」の遷移を行った後に、ε 遷移を実行
• ε 遷移は複数 (並行、立て続け) 実行可能
• ε 遷移は状態の移動ではなく、増加
• これを ε 閉包という (ε closure)

有限オートマトンの例

• ある一個の語だけ受理できる
• ある記号の数が奇数、偶数、3 で割れば余りが 2、等
• 語の先頭に決まった記号列がある
• 語の終わりに決まった記号列がある
• 語の真ん中に・どこかに決まった記号列がある
• 二つ以上の条件を同時に、または連続に、またはそのどちらかを満たすもの

NFA から同等の DFA への変換

• アルゴリズムの原理:
  • NFA の状態の集合が DFA の状態
  • NFA の初期状態の ε 閉包の集合が DFA の初期状態
  • NFA の受理状態を一つ以上含まれる DFA の状態が受理状態
• 全ての NFA は同等の DFA に変換可能
• 全ての DFA は (単純な) NFA
• よって、DFA と NFA の受理能力が同等
• 実装は DFA の方が簡単が、テーブルの大きさが増加

NFA から同等の DFA への変換の一例

DFA の最小化

ある DFA から同等の最小の DFA は次の通りに作れる:

1. 状態を受理状態と非受理状態の二つの集合に分割
2. それそれの状態からどの記号でどの集合に遷移するかを調査
3. 現在の集合を、どの記号でも同じ集合に遷移する状態の部分集合に分割
4. 3. で変更がない時まで 2. から繰り返す

最小化で:

• 効率よい実装が可能
• 二つの有限オートマトンが同等かどうかが簡単に判断可能

DFA の最小化の一例

線形文法

(linear grammar)

左線形文法 (left linear grammar): 左線形規則と定数規則しか含まない文法

右線形文法 (right linear grammar): 右線形規則と定数規則しか含まない文法

左線形文法と右線形文法はともに正規文法と言う

(一般の線形文法は文脈自由文法の一種)

(右) 線形文法と有限オートマトン

右線形文法と NFA の対応 (ε が考慮外):

• 状態は非終端記号と対応
• 初期状態は初期記号と対応
• 受理状態に遷移する動作は定数規則と対応
• 全ての動作は右線形規則と対応

左線形文法も同様 (語を右から読み込むと考えられる)

右線形文法と有限オートマトンの一例

A → aB | bA

B → bA | a | aC

C → bA | a | aC

今回まとめ

• 線形・正規文法、有限オートマトンは同等な言語を表現・受理
• DFA による効率の良い受理の実装が可能
• これらは字句解析に有効に使用可能

課題: NFA・DFA は遷移表、遷移図、文法で表現可能が、もっとコンパクトな表現は?

宿題

提出期限と場所: 2012 年 5 月 10 日 (木) 19:00 まで O 棟 5 階の O-529 号室の前の箱に投入

形式: A4 一枚 (裏も使ってよい)

1. 次の右線形文法に相当する NFA の遷移図を作りなさい
   S → εA | bB | cB | cC, A → bC | aD | a | cS, B → aD | aC | bB | a, C →εA | aD | a
2. 1. の NFA と同等の DFA を作りなさい
3. 2. の DFA を最小化しなさい
4. flex, bison, gcc, make の動作確認 (提出なしだが、出来なかった場合、必ず次回にノートパソコンを持参すること)