言語理論とコンパイラ

第三回 (2015 年 4 月 24 日)

 有限オートマトンと線形文法

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2015/Compiler/lecture3.html

Martin J. Dürst

© 2005-15 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• 前回の残り (文法の種類) と宿題
• 有限オートマトン
• 線形文法
• それらの間の変換

Cygwin のダウンロード、インストール

(提出なしだが、できなかったらノートパソコン持参)
自分のノートパソコンに cygwin をインストール (画像つき詳細)する。インストールの手順で必ず gcc, flex, bison, diff, make と m4 を選ぶ。

flex、bison、gcc の動作確認

• Cygwin Terminal を起動
• flex -V で flex のバージョン確認 (V は大文字)
• bison -V で bison のバージョン確認 (V は大文字)
• gcc -v で gcc のバージョン確認 (v は小文字)
• make -v で make のバージョン確認 (v は小文字)
• m4 --version で m4 のバージョン確認

前回のまとめ

正規言語は字句解析に使用

今回の展望

• 有限オートマトン (finite state automaton, FSA)
  • 決定性有限オートマトン (deterministic finite automaton, DFA)
  • 非決定性有限オートマトン (non-deterministic finite automaton, NFA)
• 正規文法 (regular grammar)
  • 左線形文法 (left linear grammar)
  • 右線形文法 (right linear grammar)
• [正規表現 (regular expression)]

これらは全て同じ力を持って、正規言語を定義・受理する

有限オートマトン

(automaton (αὐτόματον) はギリシア語で、複数は automata)

状態遷移図 (state transition diagram)

外からの矢印: 初期状態、丸: 状態、二重丸: 受理状態、ラベル付き矢印: 遷移

有限オートマトンの動作

• 初期状態から開始
• 入力の語から繰り返し一記号を読み、対応のラベルの矢印に沿って状態を遷移
• 語を読み終わった時点で受理状態にいるとこの語が受理
• 語を読み終わった時点で受理状態にいない、又は途中で動作不可の場合、語が非受理
• 状態の数が有限 (すなわち、メモリに制限)

有限オートマトンの例

• ある一個の語だけ受理できる
• ある記号の数が奇数、偶数、3 で割れば余りが 2、等
• 語の先頭に決まった記号列がある
• 語の終わりに決まった記号列がある
• 語の真ん中に・どこかに決まった記号列がある
• 二つ以上の条件を同時に、または連続に、またはそのどちらかを満たすもの

有限オートマトンの状態遷移表

(state transition table)

最左欄: 状態、最上行: 入力記号、→: 初期状態 (ない場合、最初の状態)、表の内部: 遷移後の状態、*: 受理状態

有限オートマトンの定義

• 状態の有限集合 (Q、図の円、表の最左欄、set of states)
• 入力記号の有限集合 (Σ、図の矢印のラベル、表の最上行、set of input symbols)
• 動作関数 (δ、図のラベル付き矢印、表の内部 (状態遷移関数、state transition function))
• 初期状態 (q₀ ∈ Q、図の外からの矢印のある円、表の矢印つき状態、start state)
• 受理状態の有限集合 (F ⊆ Q、図の二重円、表の星つき状態、accepting state(s)/final state(s))

有限オートマトンは (Q, Σ, δ, q₀, F) の五字組で定義

非決定性有限オートマトン

• 遷移がどの場合でも必ず一定に決まる有限オートマトンは「決定性有限オートマトン」(deterministic finite automaton, DFA)
• そうでない有限オートマトンは「非決定性有限オートマトン」(nondeterministic finite automaton, NFA)
• 複数の遷移が可能な (同じ状態から同じ入力記号で複数の状態への遷移がある) 場合には
  
  • 可能な遷移をすべて同時に実行 (「分身」ができる)
  • その後の入力記号も同様に (さらに「分身」が増える可能性)
  • 遷移がない「分身」は「消滅」
  • 入力の終了時点で「分身」の一人以上が受理状態にいれば受理、それ以外非受理

ε 遷移

• 非決定性オートマトンでは ε 遷移が可能
• ε 遷移は「ただで行ける」、すなわち入力なしで遷移可能なもの
• 「普通」の遷移を行った後 (最初に初期状態に着くときを含む)、ε 遷移を実行
• ε 遷移は複数 (並行、立て続け) 実行可能
• ε 遷移は状態の移動ではなく、増加 (「分身」の増加)
• これを ε 閉包という (ε closure)

DFA と NFA の比較表

(ε 遷移不可の非決定性有限オートマトンも存在)

DFA と NFA の同等性

• NFA は DFA より複雑で、強力に見える
• DFA は NFA よりも簡単で実装しやすそう
• NFA で表現可能が、DFA で表現不可能な言語は存在するか
• NFA から DFA への変換は可能でしょうか

NFA から同等の DFA への変換

• アルゴリズムの原理:
  • NFA の状態の集合が DFA の状態
  • NFA の初期状態の ε 閉包が DFA の初期状態
  • NFA の受理状態を一つ以上含まれる DFA の状態が受理状態
• 全ての NFA は同等の DFA に変換可能
• 全ての DFA は (単純な) NFA
• よって、DFA と NFA の受理能力が同等
• DFA の実装が簡単が、テーブルの大きさが増加
  (最悪 n → 2ⁿ; 多くの場合 n → ~2n)

NFA から同等の DFA への変換の一例

線形文法

(linear grammar)

左線形文法 (left linear grammar): 左線形規則と定数規則しか含まない文法

右線形文法 (right linear grammar): 右線形規則と定数規則しか含まない文法

(両方で S → ε も特別に可)

左線形文法と右線形文法はともに正規文法と言う

(左線形規則も右線形規則も含む一般の線形文法は文脈自由文法の一種)

(右) 線形文法と有限オートマトン

右線形文法と NFA の対応 (ε が考慮外):

• 状態は非終端記号と対応
• 初期状態は初期記号と対応
• 受理状態に遷移する動作は定数規則と対応
• 全ての動作は右線形規則と対応

左線形文法も同様 (語を右から読み込むと考えられる)

右線形文法と有限オートマトンの一例

A → aB | bA

B → bA | aC | a

C → bA | aC | a

右線形文法と有限オートマトンの変換

オートマトンから文法へ:

• 全ての遷移を右線形規則へ変換
• 受理状態への遷移を定数規則へも変換

文法からオートマトンへ:

• 右線形規則を遷移に変換
• 受理専用の状態を新たに設け、定数規則をその状態への遷移に変換

今回のまとめ

• 線形・正規文法、有限オートマトンは同等な言語を定義・受理
• DFA による効率の良い受理の実装が可能
• これらは字句解析に有効に使用可能

課題: NFA・DFA は遷移表、遷移図、文法で表現可能が、もっとコンパクトな表現が望ましい

宿題

提出期限と場所: 2015 年 4月 30日 (木) 19:00 まで O 棟 5 階の O-529 号室の前の箱に投入

形式: A4 一枚 (裏も使用可)

1. 下記の NFA の状態遷移表の有限オートマトンを状態遷移図で書きなさい。

   	ε	0	1
   →S	{B}	{C}	{A}
   A	{C}	{}	{D}
   B	{}	{D}	{A}
   *C	{}	{D}	{A, B}
   D	{}	{A, B}	{}

2. 1. の NFA と同等の DFA を作り、遷移表で表しなさい (状態の書き換えは不要)
3. flex, bison, gcc, make,m4 の動作確認 (提出なし; ただし、不可能な場合、必ず次回にノートパソコンを持参すること)