言語理論とコンパイラ

第二回 (2015 年 4 月 17 日)

形式言語の重要性、種類、定義

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2015/Compiler/lecture2.html

Martin J. Dürst

© 2006-15 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の内容

• 前回の宿題
• 言語理論の定義
  • 語の定義、演算、性質
  • 言語の定義、演算、性質
• 言語理論の演算
• オートマトン、文法、導出

授業全体の内容

言語理論の重要性

• データ形式、プログラム言語のモデル
• 計算、認識のモデル

自然言語と形式言語の用語

言語の基本用語

形式言語 (formal language) の場合の用語:

• 語 (word) がある規則によって記号 (symbol) から構成
• 語は記号の列 (string of symbols)
• 例: 記号 a, b, c を元に a, abc, aaabbb, abcba, 等の語を作成
• 空語 (empty word) ε も語の一つ

語の定義

• ある語や言語はある記号の有限集合 Σ をもとに定義
• Σ はアルファベット (alphabet) という (例: Σ = {a, b, c})
• Σ 上の語 (word over Σ) は Σ に属する 0 以上の記号の列
• 記号の数は語の長さ (length of the word)
• 語 w の長さは |w| と表記
• 例: |abcaba| = 6; |ε| = 0
• 記号は長さ 1 の語 (例: b)

語の連結演算

• 二つの語を連続して並ぶことで新語が作成可能
• これは語の連結演算 (concatenation operation)
• 連結演算は演算子なしで表記
  例: 語 w と v の連結は wv と表記
• 応用例: w = abc で v = cba のときに wv = abccba
• 同じ語 (や記号) の連結は乗数で表記: w² = ww = abcabc、a⁵ = aaaaa 等

連結演算の性質

• 結合法則 (associativity): 語 w, v, u のとき、(wv)u = w(vu)
• 単位元 (neutral element) は ε: wε = εw = w
• 可換法則は成立しない: wv ≠ vw (例: abccba ≠ cbaabc)
• 連結の語の長さは連結される語の長さの和: |wv| = |w| + |v|

言語の定義

Σ 上の言語 (language over Σ) は Σ 上の語の集合

Σ ={a,b,c} 上の言語の例:

• 空集合: {}
• 空語の集合: {ε}
• Σ (Σ 上の長さ 1 の語の集合): {a,b,c}
• 長さ 3 の (Σ 上の) 語の集合 (集合の大きさ: 27)
• Σ 上の全ての語の集合
• a で始まる (Σ 上の全ての) 語の集合
• a を晴、b を曇、c を雨・雪にして、来週の都道府県庁の一日づつの天気を表す語の集合

言語の例 (続き)

• Σ = {a,..., z}, C 言語の予約語 (の集合)
• Σ = {0,..., 9, a,..., f, A,..., F, x,...}, C 言語の整数定数 (の集合)
• Σ = {ASCII や Unicode の文字}, 文法的に正しい C 言語のプログラム (の集合)
• Σ = {a,..., z, (, ), ¬, ∧, ∨}, (論理演算の) 整論理式 (の集合)
• Σ = {ローマ字など}, 英語の単語 (の集合)
• Σ = {ローマ字など}, フランス語の単語 (の集合)
• Σ = {漢字、かななど}, 日本語の単語 (の集合)
• Σ = {漢字、かななど}, 日本語の文法的に正しい文 (の集合)

言語の演算

言語の演算は集合の演算と語の演算の組み合わせ

• 言語の和集合
• 言語の積集合
• 言語の差集合
• 言語の連結演算: 言語 A と B の場合、結合 AB = { wv | w∈A, v∈B }

  語と同じく言語でも LL を L² 等で表記

• クリーン閉包 ((Kleene) closure): 0 以上の同じ言語の連結

  L^* と書く; L^* = ⋃^∞_i=0 Lⁱ

  例: L = {a, b} => L^* = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, ...}

形式言語の主な課題

• 言語の簡単で分かりやすい定義
• 言語の定義からの語の作成方法
• ある記号の列はある言語に属するかどうかの判断方法
• この判断がどうやって簡単で高速に実装、実行可能
• 構文 (syntax) と意味 (semantics) の関連付け

オートマトンと文法と言語

• オートマトンは言語を受理・認識・識別する機械のモデル
• 文法は言語を生成する規則
• オートマトンと文法には様々な種類が存在
• 種類によって受理・生成する言語の範囲が異なる
• 言語理論では主に四種類の言語 (族) を区別
• この四種類の言語には順番に部分集合の関係が成立
• この四種類の言語にはそれぞれオートマトンと文法の種類が対応

形式言語の表

(チョムスキー階層、Chomsky hierarchy)

• チューリング機械 (Turing machine) は一般の計算機のモデル
• 文脈自由言語は構文解析に使用
• 正規言語は字句解析に使用

オートマトンの種類

オートマトンの種類は「外部」メモリの制限で決まる:

0. 外部メモリが長さ制限なしのテープ: チューリング機械

1. 外部メモリが長さ制限付きのテープ: 線形拘束オートマトン

2. 外部メモリが最上部しか見えないスタック: プッシュダウンオートマトン

3. 外部メモリなし: 有限オートマトン

形式言語の文法の一例

• S, A: 非終端記号 (nonterminal symbols, 大文字)
• a, o, y: 終端記号 (terminal symbols, 小文字)
• 書き換え規則 (rewriting rules)

  S → a S o

  S → A

  A → y a

• S: 初期記号 (initial symbol, start symbol)

文法から文の導出 (derivation) の一例:

S → a S o → a a S o o → a a A o o → a a y a o o

S ⇒ a a y a o o

文法の定義

(grammar)

• 非終端記号の有限集合 N (nonterminal symbols、普通大文字使用)
• 終端記号の有限集合 Σ (terminal symbols、普通小文字使用、N ∩ Σ ＝ {})
• 書換規則の有限集合 P (生成規則ともいう、production rules 又は rewriting rules)
• 開始記号 S (S ∈ N, 初期記号とも言う、start symbol)

文法は (N, Σ, P, S) の四字組で定義

書換規則

(rewriting rule)

書換規則一つは α → β と書く

α は左辺 (left-hand side)、β は右辺 (right-hand side)

α とβ は 0以上の非終端記号と終端記号の列

左辺には非終端記号が最低一つ

例: aD → aDDb, EF → abc, F → Fb, D → ε

反例: bc → Dc, ε → b

導出

(derivation)

• 文法から語を作るプロセス
• 初期記号から開始
• 一回の導出では一つの書き換え規則を一回適用:
  
  • 現在ある (非)終端記号の中に
  • 書換規則の左辺と同じ部分列を特定
  • この部分列を書換規則の右辺と置換
• 複数の導出が可能な場合、任意に選択
  (選択により、別の語を作成)
• 結果が終端記号だけの列の時点で導出が終了
  →結果が (文法が定義する) 言語の一つの語
• 適用可能な書換規則がない場合、導出が失敗

文法と導出の例

文法:
S → aba (1), S → aDTa (2), T → CDTa (3), T → CDa (4),
DC → QC (5), QC → QD (6), QD → CD (7),
aC → aa (8), Da → ba (9), Db → bb (10)

(数値は書き換え規則の番号、下線は書換規則の適応範囲、普通 (宿題を含め) 省略)

導出の一例: S →₂ aDTa→₄ aDCDaa→₅ aQCDaa→₉ aQCbaa→₆ aQDbaa→₇ aCDbaa→₈ aaDbaa→₁₀ aabbaa

文法の種類

文法の種類は書換規則の制限で区別:

0. 特に制限なし: 句構造文法 (phrase structure grammar), (Chomsky) 0 型文法

1. αAβ → αγβ (α, β は0以上の、γ は1以上の (非)終端記号の列) の場合:
文脈依存文法 (context-sensitive grammar), (Chomsky) 1 型文法

2. A → γ (γ は0以上の (非)終端記号の列) の場合:
文脈自由文法 (context-free grammar), (Chomsky) 2 型文法

3. A → aB 又は A→ a (A → Ba 又は A→ aでも可) の場合:
正規文法 (regular grammar), (Chomsky) 3 型文法

(全ての場合に、S → ε も特別に可)

宿題

提出期限と場所: 2015年 4月 23日 (木) 19:00 まで O 棟 5 階の O-529 号室の前の箱に投入

形式: A4 一枚 (裏も使用可)

1. L = { a, cb, ac } の場合、L^* の一番短い語 10個を列挙しなさい。
   発展問題 (解答自由): L^* の長さ4の語を全て列挙しなさい。
2. 「導出の例」で使われた文法を使って、3つの (例とお互いと) 異なる語の導出を書きなさい (途中段階を全部含む、番号・下線不要)。この文法はどの様な言語を定義しているかを推測し、説明しなさい。
   (ヒント: 推測が簡単でなかったら、導出に問題の可能性大)
   発展問題 (解答自由): 自分の推測を証明してみなさい。
3. (提出なしだが、できなかった場合、必ず次回にノートパソコンを持参すること)
   自分のノートパソコンに cygwin をインストールする (画像つき詳細)。インストールの手順で必ず gcc, flex, bison, diff, make と m4 を選ぶ。以前インストールされた場合、必ず確認・更新。