情報数学 I

第三回: 基本概念: 集合など (2010年 10月 8日)

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2010/Math1/lecture3.html

AGU

© 2005-10 Martin J. Dürst 青山学院大学

今回の目次

集合の概念

(set)

同一性について

集合の表現

集合の図

ベン図 (Venn diagram)

 
 
 
 
 
 
 

集合の演算: 和集合

(union, sum)

集合の演算: 積集合

( intersection, product)

集合の演算: 差集合

(difference set)

部分集合

集合の大きさ

ベキ集合

全体集合

集合の演算: 補集合

(complement, complementary set)

集合演算の法則

  1. ベキ等律: AA = A; AA = A
  2. 交換律: AB = BA; AB = BA
  3. 結合律: (AB) ∩ C = A ∩ (BC); (AB) ∪ C = A ∪ (BC)
  4. 分配律: (AB) ∩ C = (AC) ∪(BC);
    (AB) ∪ C = (AC) ∩ (BC)
  5. 吸収律: A ∩ (AB) = A; A ∪ (AB) = A
  6. 対合律: A = (Ac)c
  7. 排中律: AAc = U
  8. 矛盾律: AAc = {}
  9. ド・モルガンの法則: (AB)c = AcBc;
    (AB)c = AcBc

演算の法則

演算 (operation) に色々な法則が考えられる

演算子 (operator) と被演算子 (operand) の種類によって成り立つか
成り立たないか

よくあるパターン (雛形) に名前が付いている:

演算の法則の例

名前: 交換律 (commutative law)

パターン (△ は「何かの演算子」): ab = ba

成り立つ具体例:

成り立たない例:

集合の限界

今週の宿題

提出方法: プレーンテキスト (メモ帳など、拡張子が .txt) のファイルを作って、Moodle で 10月14日 (木曜日) 22:00 までに提出。

  1. 自分で四個の元の集合を作る。他人と同様なものを使うと減点される。
  2. 1. のベキ集合を作る
  3. 元の数がゼロ個から六個までの集合のベキ集合の大きさの表を作る。例:
    |A|     |P(A)|
    0       ?
    1       ?
     ...     ?
  4. ある集合の大きさとそのベキ集合の大きさの関係を式で表し、その式の根拠について簡単に説明する。
  5. ゼロ個から五個の元の集合の同じ大きさの部分集合の数を数えて表にまとめる。例:
    |A|     n       |{B|B⊂Aかつ|B|=n}|
     ...     ...     ...
    2       1       2