情報数学 I

第二回: 数の表現 (2010年 10月 1日)

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2010/Math1/lecture2.html

今日の予定

Moodle の登録について
数と数字の歴史
数の原点: 1
1 から作り上げる自然数
0 の発見
位取り表現と n進法

お知らせ

情報テクノロジ学科 1年生懇親会

本日 18:30

G棟 2階カフェテリア

Moodle の登録の諸問題

メールアドレスが間違っている: 手動の削除や修正が必要
アカウント作成の確認メールが届かない: 迷惑メールの確認、電子メールで連絡
ユーザ ID や姓・名の順番が間違っている: 右上の自分の名前 (あなたは... のところ) を選び、「プロフィールの編集」で修正
未登録: 登録期間の延長
コース登録キー: *****

数と数字の歴史

(資料: Georges Ifrah: The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 1998)

人間の歴史を通して、様々な数の表現が存在
最初の数は 1
数の書き方としては |, ||, |||, などが圧倒的に多い
10 をひとまとまりにするのも圧倒的に多い
(その次は 20)

数字の形

漢数字: 一、二、三、亖
ローマ数字 (Roman numerals): I, II, III
アラビアで使う数字 ((Arabic-)Indic Digits): ١, ٢, ٣
アラビア数字 ((European-)Arabic Digits): 1, 2, 3

漢数字: 十、廿、...
ローマ数字: X, XX,...

1 から作り上げる自然数

(ペアノの公理; Peano Axioms; Guiseppe Peano, 1858-1932)

1 は自然数
a が自然数であれば suc(a) は自然数 (suc は successor, 後者)
suc(x) = 1 という x は存在しない
違う自然数の後者が違う: a = b ⇒ suc(a) = suc(b)
1 がある性質を持ち、かつ
任意の自然数 a がある性質をもつときに suc(a) もこの性質を持つとき、
全ての自然数はこの性質を持つ

(現在は 1 のではなく 0 からのスタートが普通)

ペアノ公理下での自然数の表現

1	1
2	`suc`(1)
3	`suc`(`suc`(1))
4	`suc`(`suc`(`suc`(1)))
5	`suc`(`suc`(`suc`(`suc`(1))))
6	`suc`(`suc`(`suc`(`suc`(`suc`(1)))))
7	`suc`(`suc`(`suc`(`suc`(`suc`(`suc`(1))))))
...	...

ペアノ風足し算

公理:

a + 1 = suc(a)
a と b が自然数の場合、a + suc(b) = suc(a + b)

2 + 3 をペアノ風で計算:

0 の発見

数字として一番遅かった
800年あたりインドで発見
そこから西にアラビア世界と西欧、東に中国と日本に

位取り表現と10進法

位取り表現以前の数字の表し方:

漢数字: 二百五十六

ローマ数字: CCLVI

十進法の具体例: 256 = 2×10² + 5×10¹ + 6×10⁰

0 を含む具体例: 206 = 2×10² + 0×10¹ + 6×10⁰

一般化: d_n...d₁d₀ =

小数点の例: 34.56 = 3×10¹ + 4×10⁰ + 5×10^-1 + 6×10^-2

数の表現: 2進法

1010011 = 1×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ =

基数変換

b 進法から 10 進法: それぞれの桁の値と桁の重みの積の和

10 進法から b 進法:

23 = 11×2¹ + 1×2⁰ = 5×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 2×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 10111

基	商	余り	結果の回の桁
23	11	1	1
11	5	1	11
5	2	1	111
2	1	0	0111
1	0	1	10111

変換したい数を最初の商にして、繰り返し商を b で割って、余りを最下位の桁にする

b 進法から c 進法:

10 進法経由で変換
b が c の何乗 (もしくは逆) の場合、桁を組み合わせて、組毎に変換

数の表現: 16進法

1AF = 1×16² +A×16¹ +F×16⁰ =

16進法の桁の値
桁 (大文字)	桁 (小文字)	値 (10進法で)
A	a	10
B	b	11
C	c	12
D	d	13
E	e	14
F	f	15

情報テクノロジーでよく使う基数

基数	英語と略 (形容詞)	用途、使用理由	定数の書き方
2	binary, bin	論理と回路の基本	`0b101100` (Ruby 等一部限定)
8	octal, oct	2 進法の短縮、最近使用が少ない	`024570` (C 等多くの言語)
10	decimal, dec	人間用	`1234567` (全ての言語)
16	hexadecimal, hex	2 進法の短縮、1 バイト (8 ビット) を2 桁で表現可能	`0xA3b5` (C 等多くの言語)

2 進法と 16 進法の対応

10	2	8	16
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

2 の何乗

`n`	2ⁿ	16 進法
0	1	1
1	2	2
2	4	4
3	8	8
4	16	10
5	32	20
6	64	40
7	128	80
8	256	100
9	512	200
10	1024 ≈10³ (kilo)	400
11	2048	800
12	4096	1000
16	65536	10000
20	1048576 ≈ 10⁶ (mega)	100000
30	1073741824 ≈ 10⁹ (giga)	40000000
40	1099511627776 ≈ 10¹² (tera)	10000000000

冗談の宿題

Q: Why do computer scientist always think Christmas and Halloween are the same ?

質問: なぜ情報テクノロジーの専門家はクリスマスとハロウィーンをいつも誤解するか。

もう一つの冗談

質問: 情報テクノロジーで還暦は何歳か