情報数学 I

第三回: 集合など (2013年10月 11日)

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2013/Math1/lecture3.html

AGU

© 2005-13 Martin J. Dürst 青山学院大学

今回の目次

前回のまとめ

前回の冗談の宿題の解答

Q: Why do computer scientists always think Christmas and Halloween are the same ?

質問: なぜ情報テクノロジーの専門家はクリスマスとハロウィーンをいつも誤解するか。

[本年度のために削除]

もう一つの冗談

質問: 情報テクノロジーで還暦は何歳か

[本年度のために削除]

Moodle について

まだ授業登録できてない人は今日の午後に研究室に来ること!

集合の概念

(set)

 

集合の表現

 

よく使う数の集合

集合の同一性

元の一貫性

 

全体集合

Operation on Sets: Union

(also: sum)

Operation on Sets: Intersection

(also: product)

Operation on Sets: Difference Set

(also: set difference)

Operation on Sets: Complement

(complementary set)

Venn Diagram

 
 
 
 
 
 
 

Subset

(Notation: Some authors use ⊂ for proper subsets, and ⊆ for subsets in general. Sometimes, ⊊ is also used for proper subsets.)

The Empty Set

Size of a Set

Power Set

(also: powerset)

Size of Infinite Sets

集合演算の法則

  1. ベキ等律 (idempotent laws): AA = A; AA = A
  2. 交換律 (commutative laws): AB = BA; AB = BA
  3. 結合律 (associative laws): (AB) ∩ C = A ∩ (BC); (AB) ∪ C = A ∪ (BC)
  4. 分配律: (distributive laws): (AB) ∩ C = (AC) ∪(BC);
    (AB) ∪ C = (AC) ∩ (BC)
  5. 吸収律 (absorption laws): A ∩ (AB) = A; A ∪ (AB) = A
  6. 対合律 (involution law): A = (Ac)c
  7. 排中律 (law of the excluded middle): AAc = U
  8. (無)矛盾律 (law of (non)contradiction): AAc = {}
  9. ド・モルガンの法則 (De Morgan's laws): (AB)c = AcBc;
    (AB)c = AcBc

 

演算の法則

演算 (operation) に色々な法則が考えられる

演算子 (operator) と被演算子 (operand) の種類によって成立が決定

よくあるパターン (雛形) の名前:

演算の法則の例

名前: 交換律 (commutative law)

パターン (△ は「何かの演算子」): ab = ba

成立の具体例:

非成立の例:

 

集合の限界

Glossary

(set) union
和集合
(set) intersection
積集合
difference set
差集合
complement, complementary set
補集合
Venn diagram
ベン図
subset
部分集合
superset
上位集合
proper subset
真 (しん) の部分集合
empty set
空 (くう) 集合
size of a set
集合の大きさ
finite
有限
finite set
有限集合
infinite set
無限集合
cardinality, cardinal number
濃数
continuum hypothesis
連続体仮説
prime number
素数
power set
べき (冪) 集合
deduction of points
減点
(mathematical) formula
(数学の) 式

今週の宿題

提出: 来週の木曜日 (10月17日) 19時00分締切; O 棟 529号室の前の箱に提出; A4 一枚 (両面可; 表紙なし) 厳守

名前と学生番号を忘れずに記述; 解答は読みやすい手書きのこと; 問題 5 の解答は日本語でもよいが、他の問題では日本語が使えません。

  1. Create a set with four elements. If you use the same elements as other students, a deduction of points will be applied.
  2. Create the powerset of the set you created in problem 1.
  3. For sets A of size zero to six, create a table of the sizes of the powersets (|P(A)|). Example:
    |A| |P(A)|
    0 ?
    1 ?
    ... ?
  4. Express the relationship between the size of a set A and the size of its powerset P(A) as a formula.
  5. Explain the reason behind the formula in problem 4.
  6. Create a table that shows, for sets A of size zero to five, and for each n (size of sets in P(A)), the number of such sets. Example:
    |A| n |{B|BA and |B|=n}|
    ... ... ...
    2 0 1
    2 1 2
    2 2 1
    ... ... ...