情報数学 I

第八回 (2012年11月30日)

関係の応用

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2012/Math1/lecture8.html

© 2005-12 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• ミニテスト
• 前回の残り (関係と関数) とまとめ
• 関係の種類、同値関係
• 推移的閉包

ミニテストの注意点

• 先生と TA の指導に従うこと
• 机の外側と一番真ん中だけ使用 (足りない場合には別途指導)
• 試験中は鉛筆と消しゴムだけ使用可
• ペンケースなども含め荷物は全て鞄の中にまとめ、椅子の下に置く

ミニテストの注意点 (時刻者)

• 先生と TA の指導に従うこと
• 講堂の右端に一列に並ぶ
• 並んでいる間に鉛筆と消しゴムを荷物から出す
• 指示に従って荷物を前の台に置いて、支持される席に着席

ミニテストの注意点 (終了時)

• 先生と TA の指導に従うこと
• 試験用紙の回収が完全に終了するまでに一切動かない、音を出さない

宿題の返却

• 場所: O棟 529号室の前の机
  学生番号ごとに封筒にて
• 注意事項:
  • 整理整頓
  • 自分以外の宿題は一切持ち帰り禁止

前回のまとめ

• 関係が直積集合の部分集合
• 関係の表現 (集合表現以外):
  • 行列
  • 表
  • 有向グラフ
• 逆関係
• 関係の合成

関係の種類

A の中の関係 R に対して次の性質がありうる:

1. 反射的 (reflexive): xRx; x∈A ⇒ (x, x) ∈ R
2. 対称的 (symmetric): xRy ⇒ yRx;
   (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
3. 推移的 (transitive): xRy ∧ yRz ⇒ xRz
4. 反対称的 (antisymmetric): xRy ∧ yRx ⇒ x=y

Reflexive Relation

• Definition: In a reflexive relation xRy, for all x∈A, (x, x) ∈ R
• How to check: In the matrix representation, check that all entries on the (main) diagonal are 1
• Examples: =, ≤, divisible, subset, ...

Symmetric Relation

• Definition: In a symmetric relation xRy,
  for all (x, y) ∈ R, (y, x) ∈ R
• How to check: The matrix representation is identical with its transposition.
  (The transposition of a matrix is its mirroring along the (main) diagonal.)
• Examples: =, sibling, friend??, ...

Antisymmetric Relation

• Definition: A relation R is antisymmetric if for all x and all y, xRy ∧ yRx ⇒ x=y.
• How to check: In the matrix representation, check that for each entry 1 not on the (main) diagonal, the entry in opposite position (mirrored along the (main) diagonal) is 0. In other words, of the two opposite entries, at most one can be 1.
• Examples: <, ≤, divisible, ...
• Antisymmetric relation is not the opposite of symmetric relation.
• The opposite of symmetric relation is called asymmetric relation.

Transitive Relation

• Definition: If for all x, y, and z, xRy ∧ yRz ⇒ xRz, then R is transitive.
• How to check: Compose R with itself. If the result is R (i.e. if R∘R = R), then R is transitive.
• Examples: ≤, ≥, descendant, anchestor, divisible, ...

同値関係

• 反射的、対称的、かつ推移的な関係を同値関係 (equivalence relation) と言う
• 同値関係によってある元 a の関係する全ての元の集合が定義できる
• この様な集合を同値類 (equivalence class) と言い、[a] とも書く
• a は [a] の代表元と言う
• 同値関係によって A の分割 (partition) ができる
• 直積集合も同値関係である

推移的閉包

• 関係 R を結果が変わらなくなるまで自分と合成する結果を推移的閉包 (transitive closure) と言う。
  R∘R∘R∘...
• 「変わらなくなるまで繰り返す」は情報テクノロジーにおいてよく使われる手法である
• プログラム言語 C では以下のような形になる:

int change = 1;
while (change) {
    change = 0;
    /* process data */
    if (/* data changed */)
        change = 1;
}

推移的閉包の注意点

収束しない場合も可能

大きさ 2 の集合の中の関係:

• 11種類はそのまま推移的
• 4種類は R∘R 以降推移的
• 1種類は長さ 2 の巡回で収束 [(0 1, 1 0)]

大きさ 3 の集合の中の関係:

• 123種類はそのまま推移的
• 252種類は R∘R 以降推移的
• 66種類は R∘R∘R 以降推移的
• 18種類は R∘R∘R∘R 以降推移的
• 6種類は R∘R∘R∘R∘R 以降推移的
• 33種類は長さ 2 の巡回で収束
• 12種類は R∘R 以降長さ 2 の巡回で収束
• 2種類は長さ 3 の巡回で収束

まとめ

• 関係には様々な性質がありうる
  (反射的、対称的、反対称的、推移的)
• 関係の性質の組み合わせによって、更に特殊な関係になる
  (例: 同値関係)

宿題

(提出不要)

関係の性質 (反射的、対称的、推移的、反対称的) の有無の組合せを一つ一つ調べ、できるだけ小さい具体例 (例えば {a, b, c} の中の関係とか {a, b, c, d} の中の関係として) を作りなさい。

Glossary

reflexive relation

反射的関係

(main) diagonal

(主) 対角線

symmetric relation

対称的関係

(matrix) transposition

(行列) 転置

sibling

兄弟 (姉妹も含む)

antisymmetric relation

反対称的関係

opposite

反対

asymmetric relation

非対称的関係

transitive relation

推移的関係

descendant

子孫

anchestor

先祖