データ構造とアルゴリズム

第十二回 (2012年 1月13日)

アルゴリズムの設計方針

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2011/DA/lecture12.html

Martin J. Dürst

© 2009-12 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• これからの予定
• 前回の残り
• アルゴリズムの設計方針
• 手に負える・負えない問題
• 授業改善のための学生アンケート

これからの予定

• 1月17日 (火曜日1限、補講): 13回目の授業
• 1月20日 (金): 14回目の授業
• 1月27日 (金曜日1限、9:30-10:55): 期末試験

補講についての注意

アルゴリズムの設計方針

• 単純なアルゴリズム
• 総当たり方 (腕力法、虱潰し、brute force)
• 貪欲アルゴリズム (greedy algorithm)
  部分的な選択で最適な解を得る
• 分割統治法 (divide and conquer)
  重複しない部分問題に分割
• 動的計画法 (dynamic programming)
• ネットワークフロー (network flow)
  コストをグラフ上に移動しながら最適化

単純なアルゴリズム

• アルゴリズムとは言わない
• 具体例:
  • ソートされたデータで三番目に小さいものを選ぶ
  • 長方形の面積を辺の長さから算出
  • 数列などの「閉じた式」(closed formula)
• 計算機の速い時代で意外と忘れがち

ナップサック問題一般的な形

• ある容量 c (重さ (又は体積)) のナップサックと
• n 個の品 s₁,..., s_n (それぞれ重さ、そして問題の種類によって価値がある)
• ナップサックの最適な詰め方を求める

ナップサック問題の変形

1. 同じ品を何個詰めるか
   解決: ナップサックの容量を品の重さで割る
   設計方針: 単純なアルゴリズム
2. 品をできるだけ数多く詰む
   解決: 軽い品から容量を超える寸前まで詰む
   設計方針: 貪欲アルゴリズム
3. 容量をできるだけ利用する (整数編)
   解決: 容量 c' ≦ c と品 s₁,..., s_k (k ≦ n) の部分問題を検討
   設計方針: 動的計画法
4. 価値をできるだけ多くする
   設計方針: 総当たり方

これからの目的

• 「簡単な問題」とそうでない問題を見分ける
• 視野の拡大、アルゴリズムの「宇宙」の展望

問題例 1: 3-SAT

• n 個の論理変数
• その変数で作られている論理式
• 論理式は (否定の) 和の積
• 和はそれぞれ三つの項
• 問題: 式が真になるように変数の値を決定
• 問題の変形: そのような変数の値の存在の有無
• 具体例 (' が否定):
  (x₁∨x₂∨x₅) ∧ (x₁'∨x₃∨x₄') ∧ (x₂∨x₄∨x₅) ∧ (x₁'∨x₃'∨x₅')
• 解答候補は O(2ⁿ)
• それを全部調べると時間も O(2ⁿ)
• それより早いアルゴリズムは知られてない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない

問題例 2: 独立集合

(Independent Set)

• n 個の元の集合 (グラフの頂点)
• 元と元の間に競合 (conflict) がありうる (頂点が辺で結ばれている)
• 問題: 競合がないようなできるだけ大きい部分集合を算出
• 問題の変形: k 以上の競合のない部分集合の有無
• 解答候補は O(2ⁿ)
• それを全部調べると時間も O(2ⁿ)
• それより早いアルゴリズムは知られてない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない

問題例 3: 巡回セールスマン

(Traveling Salesman)

• n 個の「町」
• 全ての町と町の間の「距離」(時間や費用でもよい)
• 問題: 全ての町に一回だけ立ち寄る一番短い (費用の少ない) 巡回
• 問題の変形: k 以下の長さ (費用) の巡回の有無
• 解答候補は O(n!)
• それを全部調べると時間も O(n!)
• それより早いアルゴリズムは知られてない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない

問題例の共通点

• 具体的な応用が大いにありそう
• 総当たり法より根本的に良いアルゴリズムが知られてない
• 総当たり法で解こうとすると指数的時間 (exponential time) が必要
• n が大きい場合 (例: 100)、事実上解けない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない
• 同じ共通点を持つ問題が多い

多項式時間と指数的時間

• 多項式問題は「手に負える問題」(tractable)
• 指数的問題は「手に負えない問題」(intractable)

多項式時間の特徴

• 指数が大きい問題 (例: O(n¹⁰⁰)) は殆どない
• 多項式の加算と乗算はまた多項式
• 多項式時間は計算機のモデルの選択にそれほど左右されない (例: 並列計算機)
• 多項式時間の問題を一部別扱いしたい場合に、分岐点の選択が困難
• 多項式時間で解ける問題の集合を P と書く

授業改善のための学生アンケート

お願い: できるだけ自由記述を使って、具体的に書いてください

(悪い例: 発音が分かりにくい; 良い例: さ行が濁っているかどうか分かりにくい)