情報数学 I

第八回 (2009年11月27日)

関係の応用

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2009/Math1/lecture8.html

© 2005-09 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• 前回の復習
• 関係の種類・性質
• 同値類
• 推移的閉包
• 半順序と全順序

前回の復習

A の中の関係 R に対して次の性質がありうる:

1. 反射的 (reflexive): xRx; x∈A ⇒ (x, x) ∈ R
2. 対称的 (symmetric): xRy ⇒ yRx ; (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
3. 反対称的 (antisymmetric): xRy ∧ yRx ⇒ x=y
4. 推移的 (transitive): xRy ∧ yRz ⇒ xRz

半順序

• 反射的、反対称的、かつ推移的な関係を半順序関係 (semiorder relation) と言う
• 単に順序関係 (order relation) とも言う
• その順序関係が定義された集合を半順序集合 (semiordered set) あるいは単に順序集合と言う
• 順序関係によく ≤ の記号が使われる
• 順序関係 ≤ に対して、順序関係 ≥ を双対な関係という

順序関係の例

• 1 以上の整数やその部分集合の「割り切れる」と言う関係
• 大相撲の場所で勝ち負けが矛盾しない場合
• テニスみたいな勝ち抜けトーナメント
• 複数の仕事で、一部前後関係がある仕事の関係
• 授業で「前にとっておかないと取れない」授業の関係

順序関係の表現: ハッセ図

有向グラフからハッセ (Hasse) 図への変換:

1. 反射的矢印を省略
2. グラフを矢印が全て紙面の下辺に向けるように配置
3. 推移的閉包で復元可能な矢印を省略
4. 矢印の頭の部分を省略

例 1: 上記 1. から 4. の前後関係

例 2: {10, 5, 3, 2, 1} の「割り切れる」関係

同値関係と半順序の行列表現

• 集合 A の元の順番は任意
• 行列表現で行と列を同時に置き換えるのが可能
• 置き換えで、同値類は次の形に変更可能:
  
  • T がある数の正方形にまとまる
  • 正方形の中心点は対角線上に
  • 正方形がお互いに共通項目を持たない
  • 対角線は全て T (正方形内)
• 置き換えで、半順序は次の形に変更可能:
  • 対角線より下には全て F

全順序

ある集合 A の全ての元 a と b に対して a≥b 又は a≤b が成り立つ場合にはその順序関係を全順序関係、あるいは線形順序関係という

例: 整数、実数など; 日付や時間; 辞書での単語の順番