O 棟 529号室
http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2006/Math1/lecture9.html
© 2006 Martin J. Dürst 青山学院大学
関係の性質の組み合わせ (計16個) のそれぞれの可能性と(可能な場合) 例を考えると次の表が作れる。
例は * の場合 {a, b, c, d} の中の関係、それ以外は {a, b, c} の中の関係
| 反射的 | 対称的 | 推移的 | 反対称的 | 可能性・例など |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | {(a,a), (b,b), (c,c)} (恒等関係) |
| T | T | T | F | {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)} (同値関係) |
| T | T | F | T | 不可能 |
| T | T | F | F | {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a), (c,b)} |
| T | F | T | T | {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)} (半順序関係) |
| T | F | T | F | {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d), (d,d)}* |
| T | F | F | T | {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c)} |
| T | F | F | F | {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a)} |
| F | T | T | T | {(a,a), (c,c)} |
| F | T | T | F | {(a,a), (a,c), (c,a), (c,c)} |
| F | T | F | T | 不可能 |
| F | T | F | F | {(a,b), (b,c), (b,a), (c,b)} |
| F | F | T | T | {(a,a), (a,c)} |
| F | F | T | F | {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d)}* |
| F | F | F | T | {(a,b), (b,c)} |
| F | F | F | F | {(a,b), (b,c), (b,a)} |
(antisymmetric relation)
int change = 1;
Data data = START;
while (change) {
change = 0;
/* calculate new data */
if (/* data changed */)
change = 1;
}
有向グラフからハッセ (Hasse) 図への変換:
例 1: 上記 1. から 4. の前後関係
例 2: {10, 5, 3, 2, 1} の「割り切れる」関係
ある集合 A の全ての元 a と b に対して a≥b 又は a≤b が成り立つ場合にはその順序関係を全順序関係、あるいは線形順序関係という
例: 整数、実数など; 日付や時間; 辞書での単語の順番
上記の「≥」および「≤」はあくまで代表的な記号で、直接「以上」などでない場合がある
(algebraic system)
(group)
演算は二項演算「∘」一つ。公理:
例: (Z; +), (R-{0}; ×)
(boolean algebra)