情報数学 I

第三回: 組み合わせと命題

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2006/Math1/lecture3.html

今週の目次

Moodle について
先週の宿題
組み合わせとパスカルの三角形
命題
論理式の作り方と使い方
論理演算

Moodle について

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先週の宿題 (1, 2)

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先週の宿題 (3, 4)

現在，諸事情により閲覧不可

先週の宿題 (5)

現在，諸事情により閲覧不可

パスカルの三角形

(Pascal's triangle)

一行目の (0 ... 0) 1 (0 ... 0) からスタートし、左上と右上の数を足し合わせると出来る。

                  1
                1   1
              1   2   1
            1   3   3   1
          1   4   6   4   1
        1   5  10  10   5   1
      1   6  15  20  15   6   1
    1   7  21  35  35  21   7   1
  1   8  28  56  70  56  28   8   1
1   9  36  84 126 126  84  36   9   1
 ...

パスカルの三角形の性質

インドで紀元前から知られ、多くの性質が知られている。

ここで次の関係や性質を証明する:

部分集合の数とパスカルの三角形
パチンコ玉の道の数とパスカルの三角形
部分集合と組み合わせ
パスカルの三角形の一ヶ所の直接の計算

部分集合の数とパスカルの三角形

集合 A の大きさが n で、部分集合の大きさが m の部分集合の数を _nC_m と書く
_nC_n = 1 (全集合の大きさの部分集合は全集合一つ)
_nC₀ = 1 (空の部分集合は空集合一つ)
_nC_m = _n-1C_m-1 + _n-1C_m を n>0, 0<m<n の場合に証明できればよい
|B|=n-1 から |A| = n の集合を作ると元が一つ増える。これを g と書く。
A の大きさ n の g を含まない大きさ m の部分集合は B の大きさ m の部分集合と数が同じ。
A の大きさ n の g を含む大きさ m の部分集合は B の大きさ m-1 の部分集合と数が同じ。

パチンコ玉の道の数とパスカルの三角形

パスカルの三角形の数字の列の間にピンをおく
最上の 1 から玉を流す
違う道の数を数える
ある高さまでの違う道の数の合計は 2ⁿ となる
ある場所までの違う道の数はパスカルの三角形の数と同じ

部分集合と組み合わせ

組み合わせ論は情報テクノロジーにおいて大切
組み合わせ論は色々な条件、制限の場合の「違う」ものを数えて論じるのが目的
単に「組み合わせ」というとある集合からだぶりのない様にある数のものを順番を気にせずに選ぶという意味
これはちょうど部分集合の数と同じ
組み合わせは英語で combination と言って、これは _nC_m の C の由来
他に順列 (permutation)、重複順列 (repeated permutation)、重複組み合わせ (repeated combination) などが存在

パスカルの三角形の一ヶ所の直接の計算

_nC_m = n!/m! (n-m)!
```
 
   
   
   
   
   
  
```

階乗

(factorial)

書き方: n!

定義: n! = 1 · 2 · ... (n-1) · n = ∏ⁿ_i=1 i

問題:

1! = ?

0! = ?

演算の単位元

(unit element, identity element, neutral element)

足し算の単位元: 0
掛け算の単位元:
集合和の単位元:
集合積の単位元:

複数の演算を行うプログラムの構造

具体例:

int sum = 0;
for (i=0; i<end; i++)
    sum += A[i];

一般の構造:

type result = 単位元;
for (i=0; i<end; i++)
    result = result 演算子 A[i];

命題

(proposition 又は statement)

正しいか正しくないかが客観的に決められる文

命題の例:

2 掛ける 2 が 4 である。
10 が 5 より小さい。
明日 (2006/10/14) は淵野辺に雨が降る。

反例 (命題ではない):

彼女の誕生日は今日 (2006/10/13) である。
今朝いつ起きたか。
納豆は美味しい。

命題の真偽

命題は正しいか正しくないかである。

「正しい」は「真」(しん、true) とも言って、1、T や ⊤ と書く

「正しくない」は「偽」(ぎ、false) とも言って、0、F や ⊥ と書く

プログラム言語での取り扱い:

C の場合、整数の 0 は「偽」と相当で、0 以外の整数 (特に 1) は「真」と相当。真理値に整数の型が使われる。
Java の場合、「真」は true で、「偽」は false で、整数の型 (int) と真理値の型 (boolean) は全く別。

命題の演算: 「かつ」

二つの命題 A と B があるとすると次の命題が作れる:

A かつ B。(A AND B)

これは「A ∧ B」と書く。

これは関数とも考えられる: AND(A, B)

真偽表

命題の真偽を定義したり、証明したり、調べたりするには真偽表がよく使われる:

「かつ」の真偽表
`A`	`B`	`A` ∧ `B`
T	T	T
T	F
F	T
F	F

論理演算などの情報テクノロジーでの役割

実世界の事実のモデル化
プログラム言語の論理演算のモデル化
電子回路のモデル化

モデル化

実世界の事実の是非を命題でとらえる
事実の関係を命題の関係でとらえる
命題の関係を論理式で整理する
整理の結果を実世界に応用する

命題

(proposition 又は statement)

正しいか正しくないかが客観的に決められる文。

命題は正しいものでも正しくないものでも良い。

命題ではないのは主観的な記述、質問、一部が決定されてない、代名詞や変数を含む場合など。

真理演算

論理演算子は一つ以上の命題から複合命題を作る。

一番よく使われる基本的な論理演算子は次:

「かつ」: and, A ∧ B (論理積、conjunction)
「又は」: or, A ∨ B (論理和、disjunction)
「でない」: not, ¬A (論理否定、negation)

論理積 (conjunction)

二つの命題 A と B があるとすると次の命題が作れる: A かつ B (A and B)

これは「A ∧ B」と書く。A·B や A B と書くこともある。

A ∧ B は A とも B とも真の場合だけ真、そのほかの場合は偽。

真理表で表すと次になる。(先週の宿題の回答)

`A`	`B`	`A` ∧ `B`
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

論理和 (disjunction)

「A 又は B」 (A or B) は A ∨ B と書く。A+B と書くこともある。

A ∨ B は A とも B とも偽の場合だけ偽、そのほかの場合は真。

真理表で表すと次になる。(先週の宿題の回答)

`A`	`B`	`A` ∨ `B`
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

論理否定 (negation)

[A ではない」(not A) は ¬A と書く。A', A, ~A と書くこともある。

¬A は A が真の場合に偽、偽の場合に真。

真理表で表すと次になる。

`A`	¬`A`
T	F
F	T

論理式の構成

論理演算子と命題 (変数) で論理式が作られる。

例: (A ∨ (¬B)) ∧ C

優先度と括弧の省略:

演算子に優先度が付いている。優先度の高い順から適用される。括弧は優先度が合わない時だけ必要。

論理演算子の優先度は「¬」が「∧｣より高く、「∧｣が「∨」より高い。

論理式の評価の例

例: (A ∨ (¬B)) ∧ B

(¬B) の括弧が必要ない: (A ∨ ¬B) ∧ B

真理表を使った評価

`A`	`B`	`¬B`	`A` ∨ ¬`B`	`(A ∨ ¬B) ∧ B`
T	T	F	T	T
T	F	T	T	F
F	T	F	F	F
F	F	T	T	F

今週の宿題

(提出なし)

論理演算の性質についてしらべる。

ヒント:

集合演算の性質を参考にしたらどうか
真理表を使って確認する